[动力学] 等效地震力与伪加速度反应谱的关系(公式推导)

《建筑抗震设计规范》（GB50011-2010）中给出了采用振型分解反应谱法计算地震作用时的地震力计算公式：

《建筑抗震设计规范》（GB50011-2010）中给出了采用振型分解反应谱法计算地震作用时的地震力计算公式： ${F_{ji}} = {\alpha _j}{\gamma _j}{X_{ji}}{G_i}$ ，其中 ${\gamma _j} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{X_{ji}}{G_i}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {X_{ji}^2{G_i}} }}$ ， ${F_{ji}}$ 为j振型i质点的水平地震作用标准值； ${\alpha _j}$ 为相应于j振型自振周期的地震影响系数； ${X_{ji}}$ 为j振型i质点的水平相对位移； ${\gamma _j}$ 为振型的参与系数。以下根据结构动力学的相关理论，给出上述公式的一种推导。

1 多自由度体系振型分解法 Mode Superposition Method

对于多质点体系，地震动力方程为：

{\left[ M \right]\left\{ {\ddot u} \right\} + \left[ C \right]\left\{ {\dot u} \right\} + \left[ K \right]\left\{ u \right\} = - \left[ M \right]\left\{ {{{\ddot u}_g}} \right\}} 式（1）

将

\left\{ u \right\}

按振型展开，即

\left\{ u \right\} = \left[ \phi \right]\left\{ q \right\}

，进一步展开为：

{\left\{ u \right\} = \left[ \phi \right]\left\{ q \right\} = \left\{ {{\phi _1}} \right\}{q_1} + \left\{ {{\phi _2}} \right\}{q_2} + \left\{ {{\phi _3}} \right\}{q_3} + \ldots + \left\{ {{\phi _n}} \right\}{q_n}}

将式（1）两边同时乘

{\left[ \phi \right]^T}

，得下式：

{{\left[ \phi \right]^T}\left[ M \right]\left[ \phi \right]\left\{ {\ddot q} \right\} + {\left[ \phi \right]^T}\left[ C \right]\left[ \phi \right]\left\{ {\dot q} \right\} + {\left[ \phi \right]^T}\left[ K \right]\left[ \phi \right]\left\{ q \right\} = {\left[ \phi \right]^T}\left[ M \right]\left\{ {{{\ddot u}_g}} \right\}} 式（2）

根据振型正交性，并假定阻尼为经典阻尼，可知

{\left[ \phi \right]^T}\left[ M \right]\left[ \phi \right]

、

{\left[ \phi \right]^T}\left[ C \right]\left[ \phi \right]

、

{\left[ \phi \right]^T}\left[ K \right]\left[ \phi \right]

均为对角矩阵，其对角元素别为

{M_n} = {\left\{ {{\phi _n}} \right\}^T}{\left[ M \right]_n}\left\{ {{\phi _n}} \right\}

、

{C_n} = {\left\{ {{\phi _n}} \right\}^T}{\left[ C \right]_n}\left\{ {{\phi _n}} \right\}

及

{K_n} = {\left\{ {{\phi _n}} \right\}^T}{\left[ K \right]_n}\left\{ {{\phi _n}} \right\}

，其中

{M_n}

，

{C_n}

、

{K_n}

分别为振型质量，振型阻尼和振型刚度。

由公式（2），可以得到n个单自由度方程：

{{M_n}{\ddot q_n} + {C_n}{\dot q_n} + {K_n}{q_n} = - {\left\{ {{\phi _n}} \right\}^T}\left[ M \right]\left\{ {{{\ddot u}_g}} \right\}} 式（3）

两边同时除以

{M_n}

可得：

{{\ddot q_n} + \frac{{{C_n}}}{{{M_n}}}{\dot q_n} + \frac{{{K_n}}}{{{M_n}}}{q_n} = - \frac{{{{\left\{ {{\phi _n}} \right\}}^T}\left[ M \right]}}{{{M_n}}}\left\{ {{{\ddot u}_g}} \right\} = - {\gamma _n}\left\{ {{{\ddot u}_g}} \right\}} 式（4）

其中

{\gamma _n} = \frac{{{{\left\{ {{\phi _n}} \right\}}^T}\left[ M \right]}}{{{M_n}}} = \frac{{{{\left\{ {{\phi _n}} \right\}}^T}\left[ M \right]}}{{{{\left\{ {{\phi _n}} \right\}}^T}{{\left[ M \right]}_n}\left\{ {{\phi _n}} \right\}}}

，即为振型参与系数，对应公式

{\gamma _j} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{X_{ji}}{G_i}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {X_{ji}^2{G_i}} }}

。同时也可发现，公式（4）是单自由度施加

{\gamma _j}

倍地震加速度的地震动力平衡方程。

2 等效地震力 Equivalent Static Lateral Seismic Force

结构受到的等效地震力可表示为结构刚度与侧向位移的乘积，即：

{\left\{ F \right\} = \left[ K \right]\left\{ u \right\}}式（5）

根据振型分解，可对位移进行展开：

{\left\{ F \right\} = \left[ K \right]\left\{ u \right\} = \left[ K \right]\left[ \phi \right]\left\{ q \right\} = \left[ K \right]\sum\limits_{i = 1}^n {\left\{ {{\phi _n}} \right\}{q_n}}}式（6）

其中，第n阶振型的地震力为：

{{\left\{ F \right\}_n} = \left[ K \right]{\left\{ \phi \right\}_n}{q_n}}式（7）

结构设计常关心的是最大响应，此时第n阶振型的最大的等效地震力可表示为：

{{\left\{ F \right\}_{n,\max }} = \left[ K \right]{\left\{ \phi \right\}_n}{q_{n,max}}}式（8）

由式（3）可知，

{q_{n,max}} = {\gamma _n}{u_{n,max}}

，

{u_{n,max}}

为振型周期对应的相对位移谱值，此时：

{{\left\{ F \right\}_{n,\max }} = \left[ K \right]{\left\{ \phi \right\}_n}{\gamma _n}{u_{n,max}}}式（9）

根据结构动力学相关理论，结构的伪加速度谱

PSA(\omega ,\zeta )

与相对位移谱

SD(\omega ,\zeta )

之间存在如下关系：

PSA(\omega ,\zeta ) = {\omega ^2}SD(\omega ,\zeta )

；根据振型分析的基本理论，结构的刚度矩阵可表示为：

\left[ K \right]{\left\{ \phi \right\}_n} = \omega _n^2\left[ M \right]{\left\{ \phi \right\}_n}

。将上述公式带入公式（9）可得：

{{\left\{ F \right\}_{n,\max }} = \omega _n^2\left[ M \right]{\left\{ \phi \right\}_n}{\gamma _n}{u_{n,max}} = \omega _n^2\left[ M \right]{\left\{ \phi \right\}_n}{\gamma _n}\frac{{PSA({\omega _n},\zeta )}}{{\omega _n^2}} = {\alpha _n}{\gamma _n}\left[ G \right]{\left\{ \phi \right\}_n}}式（10）

式中，

g

为重力加速度，

\left[ G \right] = \left[ M \right]g

为结构重力矩阵，

{\alpha _n} = \frac{{PSA({\omega _n},\zeta )}}{g}

。可发现，公式（10）与《抗规》中式（5.2.2-1）是相对应的，其中

{\alpha _n}

为与规范定义的地震影响系数相对应的无量纲系数。这里暂且不讨论规范的反应谱是绝对加速度反应谱还是相对加速度反应谱，在小阻尼比的情况下，绝对加速度反应谱及相对加速度反应谱差异很小。若假定等效地震力为惯性力，也可以推导出类似的公式（10）的表达式，此时

{\alpha _n}

则是绝对加速度。