朱凯杰，张文福，厉昱秀，孙陈
朱凯杰，张文福，厉昱秀，孙陈
摘要： 哑铃形钢管混凝土拱因其良好的受力性能，在大跨度桥梁工程和建筑结构中得到大量的应用。以两端简支的哑铃形钢管混凝土拱为研究对象，基于板-梁理论推导了哑铃形截面平面外抗弯刚度、抗扭刚度和翘曲刚度计算公式。选取15个不同长细比、张角的钢管混凝土拱为研究对象，利用ANSYS建立有限元模型，验证其在纯弯和轴压作用下的平面外屈曲情况。研究表明：纯弯作用下哑铃形钢管混凝土拱弯扭屈曲荷载平均误差为4.6%，最大误差为6.2%，轴压作用下哑铃形钢管混凝土拱弯扭屈曲荷载平均误差为-7.5%，最大误差为-8.4%，证明了求解哑铃形钢管混凝土拱参数的合理性，可为实际工程提供设计参考。
关键词： 板-梁理论；哑铃形；平面外稳定；钢管混凝土拱
Abstract： Due to its superior mechanical performance， the dumbbell-shaped concrete-filled steel tubular（CFST）arch is frequently used in long-span bridges and buildings. The computational formula for out-of-plane bending stiffness， torsional stiffness， and warping stiffness of the dumbbell section are determined using the plate-beam theory. Fifteen CFST arches of varying slenderness and field angle are chosen to develop finite element models using ANSYS， which validate the overall buckling under two distinct situations of pure bending and axial compression. According to the study， the average error of flexural-torsional buckling load of dumbbell-shaped CFST arch under pure bending is 4.6% and the highest error is 6.2%. The greatest error of flexural-torsional buckling load of a dumbbell-shaped CFST arch under axial compression is -8.4%，the average error is -7.5%. It demonstrates the accuracy of dumbbell-shaped section parameters derived from the plate-beam theory， which can give a reliable calculation approach for engineering applications.
Keywords： plate-beam theory；dumbbell-shaped；out-of-plane stability；concrete-filled steel tubular （CFST）arch
哑铃形钢管混凝土在大跨度桥梁中已经得到广泛的应用。相关学者对拱进行了抗弯、抗压、抗扭等力学性能研究。VACHARAJITTIPHAN等 [1] 利用微分方程对圆弧拱的弯扭屈曲进行了研究。BRADFORD等 [2] 研究了钢拱平面外非线性屈曲问题。杨永华等 [3] 采用里兹法考虑了翘曲刚度的影响，导出了固定圆弧拱在均匀受压和受弯作用下的弯扭屈曲荷载的理论解。赵思远等 [4] 对闭口截面的压弯拱平面外稳定进行了研究，分析了钢拱在均匀受压和纯弯作用下平面外屈曲性能。窦超 [5] 利用平衡法推导了双轴对称的纯压、纯弯圆弧拱平面外屈曲方程。韦建刚等 [6] 、李晓辉 [7] 进行了钢管混凝土拱平面外受力性能的试验研究，结果表明拱平面外刚度较弱，较小的平面外荷载能引起较大的变形。BRADFORD等 [8] 利用能量法对均布荷载作用下开口截面的两端简支拱进行了研究。宋旭旭 [9] 、张文福 [10] 利用“板-梁理论”对狭长矩形截面及箱形截面梁的弯扭屈曲进行了理论研究和有限元验证。但目前尚未见有关哑铃形钢管混凝土拱平面外整体稳定性的理论研究成果。一方面钢管混凝土是组合截面，传统理论只能解决单一材料结构的稳定问题；另一方面哑铃形钢管混凝土截面既包含实体部分又包含薄壁部分，可以视为开-闭组合截面，现有理论不能适用于这种结构。因此本文以哑铃形钢管混凝土拱为研究对象，基于板-梁理论计算截面抗扭刚度、抗曲刚度，采用有限元法验证钢管混凝土拱在纯弯和轴压作用下的弯扭屈曲荷载。
基于板-梁理论的基本假设 [11] ：1）扭转变形前、后横截面的形状与垂直于构件轴线的截面投影的形状是相同的，即满足刚周边假定；2）扭转变形由板-梁理论和Saint-Venant扭转理论确定。
1 弯扭屈曲应变能及截面参数
钢管混凝土拱截面如图1所示。图中钢管壁厚、腹板厚度、翼缘内径、外径、腹板高度、上下翼缘形心距、两腹板形心距分别为t f 、t w 、r 1 、r 2 、h w 、h、b。钢管混凝土拱结构如图2所示。图中α为张角、L为拱长、R为拱径，钢材、混凝土弹性模型分别为E s 、E c ，剪切模量分别为G s 、G c ，泊松比分别为μ s 、μ c 。
图1 哑铃形横截面
Fig.1 Dumbbell-shaped cross-section
图2 钢管混凝土拱结构
Fig.2 CFST arch structure
1.1 腹板应变能
为清晰地描述截面的变形，本文采用与板-梁理论同样的方法 [11] ，以整体的截面形心作为原点建立整体坐标x-y，以单个截面形心为原点建立局部坐标系n-s，如图1所示。使得构件发生一个平面外位移u以及绕形心的转动θ，如图3所示。这里以左侧腹板为例求解应变能。
图3 截面变形
FIg.3 Deformation of cross-section
腹板形心的整体坐标（b/2，0），局部坐标系下腹板任意点（b/2+n，s）的横向位移为：θ=π/2，x-x 0 =b/2+n，y-y 0 =s；其中（x 0 ，y 0 ）为剪心。腹板任意点（b/2+n，s）沿n轴方向的位移为u n ，沿s轴的位移为v s ，截面形心绕z轴的转角为θ，通过板-梁理论 [11] 可以知道，计算公式为：
式中：第1项为左侧腹板平面内横向位移（s-z平面内弯曲变形）；第2项为平面外横向位移（平面外弯扭变形）。
1.1.1 平面内弯曲应变能
根据变形分解原理，平面内弯曲引起的任意点的横向位移模式为：沿左侧腹板s轴位移：
V w （s，z）=bθ（z）/2，而沿纵向位移（沿z轴）则根据Timoshenko梁力学模型确定，即ω w （s，z）=ψ w （z）s，ψ w （z）是待定系数，是腹板平面内变形的截面转角。
平面内弯曲的几何方程为：
1.1.2 平面外弯曲应变能（kirchohoff板力学模型）
根据变形分解原理，平面外弯曲引起的任意点横向位移沿左侧腹板n轴的位移u w （s，z）=u-sθ，沿左侧腹板s轴的位移v（n，z）=nθ，而纵向位移（沿z轴）需根据kirchohoff板力学模型确定，即ω w （n，s，z）=-n w ?u w /（?z）=-n?u/（?z）+ns?θ/（?z）。
平面外弯曲的几何方程为：
根据
由于对称性，可以证明右侧腹板应变能与左侧腹板应变能一致。
1.2 翼缘应变能
式中：第1项为平面内的横向位移（即平面内弯曲变形）；第2项为平面外的横向位移，即平面外的弯曲（扭转）变形。
1.2.1 平面内弯曲应变能
根据变形分解原理，平面内弯曲引起的任意点的横向位移模式如下。
沿上翼缘s轴的位移为：
几何方程为：
混凝土平面内应变能公式为：
1.2.2 平面外变形引起的应变
根据变形分解原理平面外变形引起的上翼缘截面任意点沿圆截面n轴方向的横向位移为u f （s，z）=-sθ；沿圆截面s轴方向的横向位移为V f （n，z）=nθ；而纵向位移（沿上部圆截面z轴），由于圆截面是完全对称截面，因此扭转变形时，纵向位移为0，即ω f =0。
平面外扭转几何方程为：
由对称性可证明下翼缘应变能与上翼缘应变能一致。将上述求得的应变能累加得到哑铃形钢管混凝土弯扭变形总应变能公式为：
1.3 两截面转角和横截面转角的关系
本文中出现了3个未知变量，分别为θ，ψ w （z），ψ f （z）。事实上后2个转角不是独立的未知变量，他们与刚性转角θ之间存在某种联系。下面将消去ψ w （z）、ψ f （z）使之成为单一变量的应变能方程。
第1个关系为腹板与翼缘相交处的纵向位移协调条件：
第2个关系为剪力矩相等：
其中
定义
抗扭刚度为：
2 钢管混凝土平面外屈曲临界荷载
根据文献[2]实腹式拱纯压作用下弯扭屈曲临界荷载为：
其中
3 有限元验证
3.1 有限元模型
采用ANSYS验证哑铃形钢管混凝土拱平面屈曲荷载公式的准确性，对15根不同张角、不同长细比的拱进行了有限元分析。构件参数如表1所示。拱两端分别限制3个方向的位移，同时约束端部扭转。单元类型选择Beam188，为了考虑翘曲的影响将梁单元的第7个自由度打开。由于截面上存在两种不同的材料，因而采用自定义截面的方式定义截面类型。混凝土和钢材的弹性模量、泊松比分别为：E c =3.25×10 4 MPa、μ c =0.2，E s =2.06×10 5 MPa、μ s =0.3。构件尺寸如表1所示。钢管混凝土拱的变形、施加约束和荷载分别如图4~图7所示。
图4 弯扭变形
Fig.4 Flexural-torsional deformation
图5 铰接约束
Fig.5 Hinged restraint
图6 轴压荷载
Fig.6 Axial compression load
图7 纯弯荷载
Fig.7 Pure bending load
3.2 误差分析
由表2、表3可知，在轴压作用下拱弯扭屈曲的理论解与有限元解的绝对误差均在-8.4%以下，纯弯作用下拱弯扭屈曲的理论解与有限元解相差在5%左右，该理论解具有较好的精度。钢管混凝土拱长细比增大，理论解与有限元解的误差随之减小，原因在于本文采用的计算方法基于经典的梁板弯曲理论，不考虑剪切变形的影响，因而更适用于细长的拱结构。
4 结 论
现有的稳定理论针对开口截面和闭口截面分属不同的理论体系，因而很难适用于开闭混合的截面类型，Vlasov扇形坐标法求解困难且复杂。因而本文利用板-梁理论求解了哑铃形钢管混凝土拱的扭转刚度、抗弯刚度、翘曲刚度，进而计算了钢管混凝土拱在纯压和纯弯作用下的弯扭屈曲荷载。可以得出以下主要结论：
（1）在纯弯作用下理论解和有限元解吻合较好，误差均在5%左右；在轴压作用下，理论解与有限元解误差均在-8.4%以下。
（2）板-梁理论可以较好地适用于开闭混合截面的哑铃形钢管混凝土拱结构平面外稳定的研究。板梁理论放弃了复杂的扇性坐标法而采用经典的梁理论和薄板理论求解弯扭屈曲，对于细长结构的拱具有很好的计算精度，且方便易于理解，值得推广。
参考文献:
[1]VACHARAJITTIPHAN P,TRAHAIR N S.Flexural-torsional buckling of curved members[J].Journal of the Structural Division,1975,40(3): 1223-1238.
[2]BRADFORD M A,PI Y L,LIU A R.Out-plane elastic-plastic buckling strength of high-strength steel arches[J].Journal of Structural Engineering,2018,144:26-34.DOI:10.1061/(ASCE)ST.1943-541X.0002051.
[3]杨永华,陈以一.双轴对称固支圆弧拱弯扭屈曲荷载的理论解[J].工程力学,2008,25(4):1-4,20.YANG Yonghua,CHEN Yiyi.Theoretical solution for flexural-torsional buckling load of fixed-end circular arches with biaxially-symmetric cross-sections[J].Engineering Mechanics,2008,25(4):1-4,20.(in Chinese)
[4]赵思远,郭彦林,王宏.闭合截面压弯钢拱的平面外稳定性能研究[J].工程力学,2016,33(10):62-67.DOI:10.6052/j.issn.1000-4750.2015.05.0720.ZHAO Siyuan,GUO Yanlin,WANG Hong.Out-of-plane stability of closed-section steel arches under compression and bending[J].Engineering Mechanics,2016,33(10):62-67.DOI: 10.6052/j.issn.1000-4750.2015.05.0720.(in Chinese)
[5]窦超.钢拱平面外稳定性能及设计方法[D].北京:清华大学,2012.DOU Chao.Out-of-plane stability and design of steel arches[D].Beijing: Tsinghua University,2012.(in Chinese)
[6]韦建刚,李晓辉,陈礼榕,等.钢管混凝土哑铃形截面拱空间受力性能试验研究[J].工程力学,2015,32(11):71-78.DOI:10.6052/j.issn.1000-4750.2013.07.0602.WEI Jiangang,LI Xiaohui,CHEN Lirong,et al.Experimental studies of out-plane mechanical behavior on CFST dumbbell section arch[J].Engineering Mechanics,2015,32(11):71-78.DOI:10.6052/j.issn.1000-4750.2013.07.0602.(in Chinese)
[7]李晓辉.钢管混凝土实肋拱面外稳定性能研究[D].福州:福州大学,2011.LI Xiaohui.Research on the out-plane stability of CFST solid rib arches[D].Fuzhou: Fuzhou University,2011.(in Chinese)
[8]BRADFORD M A,PI Y L.A new analytical solution for lateral-torsional buckling of arches under axial uniform compression-ScienceDirect[J].Engineering Structures,2012,41(1):14-23.DOI:10.1016/j.engstruct.2012.03.022.
[9]宋旭旭.钢管混凝土翼缘薄壁箱形梁扭转与弯扭屈曲理论研究[D].合肥:安徽建筑大学,2019.SONG Xuxu.Theoretical research on torsion and flexural-torsion buckling of thin-walled box beam with concrete-filled steel tube flanges[D].Hefei:Anhui Jianzhu University,2019.(in Chinese)
[10]张文福.狭长矩形薄板扭转与弯扭屈曲的新理论[J].工业建筑,2015,45(增刊):1728-1743.DOI:10.13204/j.gyjz2005.s1.090.ZHANG Wenfu.A new theory of torsional and flexural buckling of slightness rectangular plates[J].Industrial Construction,2015,45(Suppl.):1728-1743.DOI:10.13204/j.gyjz2005.s1.090.(in Chinese)
[11]张文福.钢结构平面外稳定性理论[M].武汉:武汉理工大学出版社,2019:65-88.ZHANG Wenfu.Out-of-plane stability theory of steel structures[M].Wuhan:Wuhan University of Technology Press,2019:65-88.(in Chinese)
