杂谈（六）（七）（八）谈了振型分解叠加法求解体系的反应，再简单总结一下振型分解叠加法的原理和过程:

1、首先求解出多自由度体系振型自振频率及振型标准化位移，这是体系的固有性质，只和质量和刚度有关。

2：利用振型的正交性把联立方程解耦，求出地震激励下作用（抗规5.2.2、5.2.3用的是反应谱算出的准地震力）下每一振型的贡献系数（抗规中的参与系数）。

3：用振型位移乘以其贡献系数得到该振型在体系总反应的参与比例，再用CQC法或SRSS法求和，求出该自由度的位移反应及作用力用于地震分析计算。

这就是振型分解叠加法的原理。

那针对于具体的结构如何利用振型分解叠加法呢？

一：结构有限元动力分析

先来分析最基本的情况，即所谓的有限元的动力分析。我们在进行静力计算时，有一种方法叫矩阵位移法是专门为计算机准备的，手算几乎不可能。对于杆系结构，每个杆端的位移为六个，即UX、UY、UZ、、，对应着6个杆端力，每个杆端位移相当一个自由度，即每个杆端质点有六个自由度。比如下面的2层框架结构：

可以把楼层质量集中在每个杆件的端部形成质点，这样每层有4个质点，每个质点六个自由度，该结构共计有6X4X2=48个自由度。

那该结构就有48个振型。

这么简单的2层4柱结构有48个振型。我曾试着想象看能否想象出这48个振型会振动出什么样子，这可比钢板尺和质量串的振型的复杂多了，因为这是个三维空间的振动形式，包括扭转相当于比一维的质量串多出了六倍，而且每层还四个质点。我想的都快吐了，也想不全这些全部振型振动的样子。

那如果是一个20层的每层有40棵柱子的高层呢？那它的自由度将是6X40X20=4800，理论上有4800个振型。

这是杆系结构，如果是剪力墙结构，我们把剪力墙按薄壁柱简化为杆元计算，实际是每个杆端又增加了一个翘曲的位移分量即每个杆端是7个自由度，而如果把墙体按墙元计算呢，每片剪力墙可以分成N个节点，那又增加多少个自由度呢？

先不管它多少个自由度和振型，也不管这多振型计算机需要算多长时间，我们只考虑理论上这种分析的原理。

和比较直观的质量串的分析一样，可以把结构承受的随时间变化的荷载（地震力）按质量大小分配到节点上，就可以求出整个结构所有节点即质点的质量阵，根据每个杆件的刚度得出体系总刚度阵，叫做结构总质量阵和总刚阵，以下计算分析就和前文说的一样了。

不同的结构，总刚阵和质量阵的形式是不一样的，但动力方程建立过程和求解方法都是一样的。

结构离散为有限个质点自由度后，单元内部的位移就可以进行插值或单个杆件的分析计算了。

因为每个位移均为CQC法得出的，这样得出的6个位移并根据位移计算出6个结点力，就不是位移协调和静力平衡的。

这样精细有限元来建立模型似乎非常精确，竖向地震的振型分解也可以和水平地震统一计算，不存在楼板无限刚的假定，水平与扭转共同作用的地震激励甚至在一个建筑内部水波上下起伏的振动也可以分析，但其动力自由度太多了，随便一个建筑就几千个自由度，实际很难实现的，大部分只能在理论上。

我想起亲身经历的一个故事。那年在清华读硕士，开始导师是聂建国老师，他是搞钢与混凝土组合构件的，我就想搞钢与混凝土混合结构的整体分析的课题。教研室的很多同学在利用ANSYS进行有限元分析，因为我对ANSYS有限元分析软件只是道听途说，门还没入，就计划用ANSYS的SOLID单元（一种把构件分成一小块一小块实体进行模拟分析的单元）进行钢与混凝土混合结构的整体结构有限元分析。后来查文献，学习ANSYS软件就过去了大半年，毫无进展，连课题也开不了，后来请教教研室的郑刚博士，他说：“我用ANSYS的solid单元来分析钢结构的栓焊连接节点，都非常困难，你用它分析整体结构，那得多大的计算量呀，你疯啦，根本不可能”。

后来和聂老师商量，还是改成了钢与混凝土单榀组合轻钢框架抗震分析的课题，这个是王元清老师的国家自然科学基金支持课题的一部分，就师从王元清老师了。分析单元用考虑钢与混凝土组合梁等效刚度的梁单元和可以输入弹塑性折线（根据教研室同学组合节点的实验数据）的弹簧单元才使得分析可以进行下去。

这才知道，理想虽然很宏大，但现实往往很骨感，理论上可以并不代表实际可以行的通。

完全自由度的有限元动力分析应该是未来的发展方向，据说现在高速计算机已经基本可以做到了，但很多时候可以根据实际情况、为节约计算时间等、模型与工程实际相符合时进行简化计算。

简化计算的方法可以加强结构师理解结构设计的基本原理和概念，这是完全精确的计算机计算方法所无法做到的，这个应该引起工程师们的注意。

二：结构有限元动力分析的简化

大部分结构一般不会全部是弹性节点，很多节点是用可以简化为刚性楼板连接在一起，所以这群连在一起的节点统一考虑为平动和转动三个自由度，这样的总刚阵就一下子减少了很多自由度（关于刚性楼板的刚度阵下文再谈）。

pkpm在由于在结构静力分析中已对总刚度矩阵进行了三角化分解，为了提高计算效率，减少重复计算，采用的是经 LDLT 分解后的总刚度矩阵。

这段我是抄的PKPM的说明书的内容，PKPM这种总刚阵简化，我一窍不通，这是计算机力学专业范畴，和我们结构设计师关系不大，知道有这么回事也就可以了。

结构的质量阵分一致质量阵和集中质量阵两种：集中质量阵容易理解，它假定单元的质量都集中在节点上。一致质量振我理解应该是质量分布在杆件上。在实际应用中，这两种质量阵都有应用：一般情况下，两者给出的结果相差不多，为了提高效率和节省机器的硬盘开销，PKPM采用的是集中质量阵。

由于总刚阵阶次较高，尽管在程序中采用了一系列提高计算效率措施，但按“总刚分析方法”来求解结构的周期和振型的代价还是较高的。计算量大概是静力分析的3～5 倍。“总刚分析方法”的优点是精度相对较高，尤其在对楼板采用“分块无限刚带弹性连接板带”或“弹性楼板”假定、三维复杂空间结构以及错层结构中错层构件较多的情况下，建议要采用“总刚分析方法”进行地震力分析，可以得到比较真实的周期、振型及地震力分析结果。

三：楼板无限刚结构动力分析

楼板无限刚假定即假设楼板在其平面内是无限刚，而在平面外没有刚度。每层的质量假设集中于楼层的质心处，但刚度中心一般和质心不重合，就是俗称的“拐把子模型”，见下图：

图中上拐把位置为质心，下拐把位置为刚心，水平段距离为偏心距。楼层考虑两个方向的平动自由度和扭转自由度合计3个自由度。上文的2层框架模型的自由度就是2X3=6个，一下子从48个减少为六个。所以计算量大大减少，而楼板无限刚的假定对于大部分接近方形楼板的结构是足够准确的，也就是说和考虑弹性楼板刚度的总刚计算的结构比较接近。

抗震规范5.2.3第2条按扭转耦联振型分解法计算时，就是用的这种拐把子简化的计算模型。

以上文二层框架为例，对该规范计算公式做一个过程说明：

该结构共有6个振型，X、Y向各2个，扭转2个。

假如计算X向的水平地震作用：

（1）先计算出6个振型的周期和振型位移，每层包含X向、Y向振型各一个及一个扭转振型。

（2）计算X向地震作用时每一振型的参与系数。

对于质心和刚心不重合的建筑或即使完全重合也设置5%的偶然偏心，所以建筑的一个方向的地震力，必然另一个方向和扭转的振型参与系数不为零，这是因为荷载中有扭矩地震力的原因。这就是所谓的扭转耦联，也就是即使仅仅单向地震作用也会因为扭矩的存在形成楼层扭转角，从而产生垂直方向的位移。

(3)每一振型的参与系数乘以该振型位移再乘以该振型周期算出的反应谱的地震力就是该振型的最大地震力。

（4）用CQC进行组合得出总的地震作用。

(5)可以分别计算出两个方向的反应谱地震力，在用规范公式5.2.3-7、8求和。

四：楼板无限刚结构的侧刚阵

结构楼层是用很多不同的构件支撑的，而上文说道的楼层刚度是把整个楼层的构件的刚度求和计算出楼层的总刚度。楼层的总刚度计算根据结构的实际情况又分为不同的楼层侧向刚度的计算。

1、剪切模型

高层建筑的框架结构，如果楼层横梁与柱的线刚度比较大，即“强梁弱柱”，这时候横梁只有平动没有转动（微小的转角忽略）。构件的侧向刚度等于施加在结构楼层的单位力除于单位力作用下的顶端位移，剪切刚度与构件的剪切模量和面积的乘积成正比，与楼层的高度成反比。

2、剪弯模型

现在都讲究“强柱弱梁”，一般的框架结构，横梁的刚度相对于柱子较小，所以上述的剪切刚度模型应用很受局限。“强柱弱梁”的框架结构、剪力墙结构或框架剪力墙结构，楼层的变形都包含剪切和弯曲两种成分，这时楼层的转角不能忽略，有时往往成为楼层位移的主要成分，因此各楼层的刚度不仅仅与本层的刚度有关，还与相邻楼层的刚度有关，因此采用剪弯模型可以较正确的反应楼层的振动特点。这个刚度计算考虑的因素太多了了，还是引用某些教材吧。

下面教材是清华大学包世华和张桐生编写的高层建筑结构设计和计算的内容。

教材该部分内容是在讲解弹塑性体系的动力分析，所以说这种模型很粗糙，不能描述单个构件的弹塑性变形过程，无法确定结构的塑性变形的薄弱部位，但这种模型对于小震下的弹性体系还是比较准确的，因为弹性阶段，楼层的总侧向刚度可以由单个构件的侧向刚度之和来计算。

3、 楼层抗扭转刚度

楼层的扭转是因为楼层的质心和刚心的不重合造成的，即是平面完全重合，规范也规定考虑5%的偶然偏心产生的水平扭转力矩。而结构的平面构件相对于刚心就会形成抗扭刚度。

计算扭转也可以分两类，一是采用整体空间计算的矩阵位移法分析内力和位移，就已经考虑了扭转。一种简化计算，简化计算的算法还可以让工程师增强如何减少结构扭转、增强抗扭能力的设计概念。

简化计算的方法是先求出楼层所有构件的抗推刚度的中心即刚心，方法和求质心类似。构件的水平抗推刚度乘以与刚心的距离就是该构件的抗扭刚度，各构件再求和就是楼层的总抗扭刚度。楼层的总扭矩除以楼层总抗扭刚度就是楼层的转角。

概念上就是：楼层的质心与刚心距离越大，地震产生的扭矩越大，楼层转角就越大（尽量减少结构偏心）。而抗侧力构件距离刚心越远，抗扭刚度就越大（周边构件形成的抗扭刚度远远大于中部构件），楼层转角越小，这样我们就可以从这两个不同的方面设法减少楼层的扭转了。

用上述的层侧向刚度模型计算出楼层总位移和转角，因为楼层平面无限刚，就可以算出每个构件的位移和转角。楼层的扭转会使两个方向边缘处的水平位移增大很多，也就是所谓的扭转位移比。因楼板平面外刚度为零，楼层的层间转角（绕水平轴的转角，不是水平方向的扭转）和单个构件的转角不完全相等，但可以忽略其不同，单个构件的转角可以认为等于楼层的转角，这样通过每个构件的水平位移和转角就可以得出它的内力了。

求出了每个楼层的层刚度（X、Y侧向刚度及扭转刚度），就形成了上述“拐把子”质量串模型的基本条件了，就可以计算出结构整体质量阵（包含楼层转动惯量）和侧向刚度阵。

五：楼板无限刚结构的动力分析的另外途径即杆系-层间模型

上文是通过先把楼层的所有构件累计相加为楼层的总侧刚，用振型叠加法算出楼层位移，在计算出单个构件的位移和转角，从而得出单个构件地震反应内力计算其配筋。但结构在静力分析时，结构计算采用的是单个杆件的有限元法的计算，即杆系模型。而上文的模型是把所有杆先合成楼层刚度并求出总反应再分解成单个杆件的内力，然后和静力有限元计算的杆件内力组合。这种方法是为了减少动力分析的自由度，但现在计算机速度快多了，可以直接用杆系结构计算，假定无限刚的楼板使每个杆件的位移是相关联的，即有刚性楼板层处的所有杆件节点只有三个自由度，也可以同样大大简化弹性楼板的总刚矩阵，这样就不用上文那种绕远的办法了。

这样的优点显而易见，可以输入构件的弹塑性本构曲线，直接进入弹塑性分析计算，同时可以很好的与静力的杆系模型对接。

这种思路最早是孙业杨等提出来的，叫“杆系-层间模型”，它的特点概括而言是：“静按杆系、动按层间、分别判断、合并运动”，他们是为了分析弹塑性阶段时提出的模型，但我觉的这种模型在弹性阶段也很好。

如果整楼是无限刚假定，在规范计算的小震弹性阶段，上面所说的”层间模型”与“杆系-层间模型”应该是一致的。但当楼板是部分刚性部分弹性或存在大空间结构的弹性节点时，运用这种“杆系-层间模型”的优势就出来了。

我不是做分析软件的，但理解上述概念对设计尤其是复杂结构的设计是非常必要的。PKPM的发展历史从开始到现在和国家的发展与我的设计经历是连在一起的，如果能讲讲计算软件从简单到复杂从粗糙到精细的发展历程，对结构师的概念的提高会有很大的帮助，但本人的能力有限，不知能不能讲好，以后的文章试试看吧。现在的PKPM已经很先进了，我不懂软件编制的详细内容，但我猜测其总刚模型应该和这种杆系-层间模型类似，因为这种模型可以适应大部分的情况。

1、全楼弹性楼板或弹性节点，采用的是每个节点6个自由度的总刚模型。

2、部分刚性楼板及部分弹性楼板或弹性节点，那就通过刚性楼板的定义，刚性楼板范围的节点一共三个自由度，其它的部位每个节点是6个自由度来求总刚矩阵。

3、刚性楼板范围越大，结构自由度越少，直到全部为刚性楼板了，全部杆系的节点自由度就是3个，总体系的自由度是3XN层。但总刚矩阵还是杆系的，这个刚度阵可以用于弹塑性阶段的分析。

六：抗规计算位移比的“规定水平力”的浅议

（暨杆系模型与层间模型的差别）

抗规和高规在计算扭转位移比时，采用的是规定的水平力。规范条文说明解释说：

在解释为什么用“规定水平力”时，规范解释说是因为有时CQC计算的最大位移有可能出现在楼板边缘的中部而不是角部，所以采用的规定水平力。很多的书籍也按规范的解释，但有的解释可能存在问题：

按上文的讲述，刚性楼板按层模型算出个振型位移然后再CQC算出楼层两个位移和一个扭转角，这样不可能出现刚性楼板边缘的位移大于角部的情况。

国外的规定所谓的最大位移出现在楼板边缘中部，我觉的可能是计算模型的差异，比如杆系模型，即使完全刚性楼板也有可能，因为我们在计算杆件节点的位移时虽然和楼板的整个变形是一致的，但不同的杆件节CQC的结果可能是不同的，就有可能出现边缘大于角部的可能,这是CQC组合结果变形不协调造成的。

我们在看动力分析杆件的内力时，会发杆件位移不协调或节点力不平衡，就是因为各个杆件的各个位移分别进行振型CQC组合造成的。

这段分析虽然和具体的设计关系不大，但思考这些，对我们正确理解CQC的内涵有帮助，进而理解抗震作用数值的不确定性，与静力分析时位移协调和力的平衡是本质不同的，工程师们要有所意识。

规定的水平力就是楼层振型CQC组合完了以后，算出楼层剪力差，来算楼层位移和扭转，避免上述计算的地震位移的不确定性。

李楚舒博士对该文给予了指导，他谈到规定水平力时说：“个人觉得抗规对改用给定力计算位移比的说法有问题，不是中间位移大，而是两头不对，因为反应谱出来的位移都为正值，不能反映平面扭转”。

这段话的含义我不能完全理解，大意可能是因为地震反应谱取峰值造成的位移关系不协调的意思，不过不能完全理解也不太影响工程设计，知道规范的规定尤其是地震方面是有缺陷的就可以了。

实际上对某一个楼层来说，随便给一个力就可以算出位移比，但平均位移的绝对值肯定和力的大小有关系。位移比也与相邻楼层的转角有关，所以还得用规定的地震水平力去算。如果各楼层的水平力的比例关系不变，那任何一组水平力算出的各楼层的位移比就是相同的，比如7度地震力和9度地震力算出的楼层位移比是一样的。

我说这个不是说计算位移比时可以用任何的地震烈度去算，是想告诉大家，位移比是一个比值，是结构由于自身质心刚心偏差所造成的一个固有缺陷，和地震力大小无关。缺陷大了，地震力小时平均位移虽然很小，但位移比很大。所以规范在规定位移比比值限制时，对绝对位移很小时，可以放松位移比的要求。

比如一个完全双轴对称结构仅四周有柱的框架结构，如果不考虑偶然偏心，位移比一定是1，但假如我们把一边柱子高度加大一倍，另一边加大1.9倍，见下图：

这样楼层平均位移减少7.4倍，而位移比由1变成了1.08。所以加大周边柱子可以有效的减少位移，但如果不是完全对称的增加会加大位移比，使一个对称的结构有了扭转缺陷。

位移比是结构的一个基本的自身固有的缺陷，并不是位移比大，就一定会破坏。水平力很小时，绝对位移很小位移比的缺陷表现不出来，但当比较大的地震力时，这种缺陷就会突出的表现出来，所以我们判断位移比的影响时应该和地震烈度和建筑层数统一考虑，但因为地震力是不确定的，低烈度区也可能发生大的地震力，所以一般结构控制位移比也是很必要的，这就是位移比的辩证关系。

2020年8月9日

感谢李楚舒博士和PKPM软件开发专家刘孝国博士的对本文的热心指导！

作者声明：

本文想说说软件比如PKPM的动力分析的概念和原理，由于大部分资料没有系统的介绍，我是从很多不完整的资料上汇总分析的。因我是个普通的结构师不是搞软件的，所以很多内容是根据自己的理解来写的，甚至就是猜测，故有可能有很多幼稚的错误，希望有搞软件分析的专家批评指正！

参考文献：

1：《结构动力学理论及其在地震工程中的应用》

Anil K. Chopraz

2：高层建筑结构设计和计算（上下册），包世华、张桐生

3：PKPM用户手册

4：结构动力学：克拉夫

5：结构力学(动力学专题)：龙驭球、袁泗等

6：抗震规范、高规

7：工程结构抗震设计:国家推荐高校教材、李爱群等

8：结构有限元分析：赵 ** 等

9：建筑结构抗震概念：张耀庭、潘鹏主编、钱稼茹主审

10：建筑结构疑难问题及对策：魏利金