在抗震性能化设计中，对结构构件进行性能水准评价是重要内容，现有国内外规范标准主要提供了基于构件变形的评价指标。损伤变量作为损伤力学中表征损伤程度的基本概念，代表材料或构件受损后的性能劣化程度，在基于材料本构的弹塑性分析中得到广泛应用，但目前尚未形成统一的计算方法和评价标准。基于损伤力学理论，结合现行规范及相关研究成果，从理论分析和工程应用的角度，提出了标定混凝土损坏等级与损伤变量对应关系的方法，并进一步建立了钢筋混凝土构件基于材料指标的评价标准。结果表明：基于材料损伤变量的性能化评价方法具有坚实的理论基础，并与现行规范相衔接，符合软件应用习惯，对规范抗震性能化设计分析与评价具有理论与实践意义。

引言

现有评价方法

表2 各性能水准结构预期的震后性能状况（高规表３.１１.２）

表３  不同规范标准性能水准对应关系

表４  常用软件建模方式和输出结果类型对比

   损伤力学与损伤变量

损伤力学与弹性力学、塑性力学一样，为固体力学的一个分支学科，自俄罗斯学者Kachanov于1958年首次提出损伤的概念以来，已逐步发展成为追踪材料从变形、损伤到失稳或破坏全过程的重要研究学科，并处于不断发展完善中。

损伤力学不同于传统材料力学将研究对象假设为均匀、连续的理想材料，而是认为工程中的材料、构件和结构，不可避免地存在诸如微空洞、微裂纹和微空隙等各种各样的微缺陷，其在荷载、温度变化或腐蚀等外部因素作用下将不断发展，从而造成构件或结构的强度、刚度、韧性下降或剩余寿命降低，这类现象即称为损伤。

损伤按加载过程可分为延性损伤、塑性损伤、蠕变损伤、疲劳损伤和动态损伤等，对于混凝土材料，由于其不均匀性、多相性，以及多样的工作环境，通常会同时发生上述多类损伤。尽管不同材料和不同工况下，构件损伤表现形式多样，但从热力学角度来看，其本质都是需要耗散能量的不可逆过程，宏观上可以损伤场描述 ^［７］ 。

损伤变量是对损伤场的表征变量，最早由Kachanov提出，用来描述材料受损的连续性能变化状态。之后俄罗斯学者Rabotnov对其进行了推广，使损伤变量 Ｄ 的物理意义更加清楚，即：

式中: 为实际承载面积； Ａ 为名义面积（初始面积）；当 Ｄ ＝０时，表示无损伤。

目前损伤力学的主要研究方法采用基于宏观的“唯象学”方法，通过在材料本构关系中掺入损伤场变量，以真实描述受损材料的宏观力学行为。其理论基础包括连续介质力学（质量守恒定律、动量守恒方程、能量守恒定律）、等效性假定和不可逆热力学（热力学第二定律，即熵增原理）。

等效性假定通常包括应变等效或能量等效两类，实际应用中，由于物理意义明确，表达形式简单，多采用应变等效假定。

应变等效原理假定损伤材料在名义应力 σ （对应名义面积为全面积）下产生的应变，与将材料考虑为无损，作用有效应力 （对应实际承载面积为有效面积）下产生的应变等效 ^［８］ 。

假设损伤为各向同性的单标量，则有效应力可采用损伤变量 Ｄ 和名义应力 σ 表示为：

应变等效原理示意图如图４所示，基于应变等效原理可推导出：

式中： ε _e 为弹性应变； Ｅ 为弹性模量； 为损伤后的弹性模量。

由式（３）可得：

式（５）将微观定义的损伤变量与宏观可测的弹性模量建立了关系，即可 用不断卸载的方法来测量材料损伤后的卸载模量，从而反算当前的损伤变量。图５为采用该方法，对室温下铜材损伤变量的测量结果 ^［９］ 。由图可得，当弹性模量由1×10 ⁵ MPa下降为2×10 ⁴ MPa时，损伤变量由0上升为0.8。

如前所述，损伤为一个不可逆的热力学过程，而静载下发生的损伤过程非常缓慢，可认为每个时刻都是平衡态（准静态过程）。损伤问题可以通过考虑耗散的热力学函数来开展研究，其中能量的耗散主要由外部状态和内部状态的变化引起。

外部状态变化是指发生变形耗散的能量，单位时间内所耗散的功可表达为：

式中： σ _V 为非弹性应力张量； ε 为应变张量； σ _p 为引起黏塑性应变的应力张量； ε _p 为黏塑性应变。

内部状态变化是由各类因素引起的物理或化学变化，内部状态变化耗能率可表达为 A _i α _i （ α _i 为内部状态变量， A _i 为 α _i 变化单位值的耗能，又称为与 α _i 对偶的广义力），其中损伤变量属于内部状态变化的一种，与其对偶的广义力为损伤耗能率，以 Ｙ 表示。

外部和内部状态变化耗散的能量将全部转变为热，除了流失的能量▽· q ，其余被微团吸收引起熵值增加，可表示为：

式中：▽为散度符号； q 为热流密度；▽· q 为单位体积输出热量； ρ 为密度； T 为温度； s 为单位质量获得的熵。

在热力学框架中，结合热力学第一定律（能量守恒方程）和第二定律（熵增原理），可以建立以势函数的偏导表示的状态变量方程，包括自由能密度函数和耗散势函数。理论上可得到一般损伤演化模型如下式所示（忽略微塑性应变）：

式中： 为损伤变化率； 为累积塑性应变率； s ₀ 和 α ₀ 为模型参数。

结合相关试验数据等约束条件，即可以此确定不同类型损伤变量的模型参数和演化方程。

根据上述损伤力学概念及研究方法，在实际结构损伤分析中的应用过程可归结如下：

（1）选择合适的损伤变量，需具有明确的力学意义，可表征研究对象的内部变化，并便于分析计算、间接测量与试验（反演）。

（2）确定含损伤变量的本构关系及损伤变量演化方程，包括基于应变等效原理，根据试验结果拟合；基于连续介质不可逆热力学框架，得到损伤本构、演化的表达式和约束条件，并结合试验确定模型参数。

（3）结合结构的平衡方程、几何方程和物理条件，得到一组封闭的偏微分方程组，即构成损伤力学的定解问题。

（4）用有限元法离散结构，求解结构的应力、应变场和损伤场。

（5）根据损伤的临界条件和评价标准，判断结构的损坏等级和工作性能状态。

钢筋混凝土结构为土木工程中应用最为广泛的结构形式，而混凝土材料本身复杂的物理特性决定了其力学性能的复杂性，因此确定混凝土损伤本构及演化方程对钢筋混凝土损伤分析以及性能化设计至关重要，目前相关的损伤力学研究成果也较为丰富 ^［10-11］ 。

以混凝土受压为例，基于近年来关于混凝土损伤的研究 ^［12］ ，《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）（2015年版） ^［13］ （简称混规）附录C.2.4中，给出了混凝土单轴受压本构模型表达式，式中参数含义见混规：

可认为式（9）为混凝土的损伤本构表达式，式（10）为其演化方程。

图６为混规中混凝土单轴受压本构关系曲线，结合式（9）的表达式可见，方程中(1- d _e ) E _c 实为割线模量，而非混凝土卸载模量。

结合损伤力学概念，并对比图５可知，式（9）~（13）在本质上属于等效弹性损伤本构模型，未考虑塑性应变对于单调加载应力?应变曲线和损伤演化的影响，因此无法完备地表示材料卸载与再加载过程中的塑性变形与滞回性能。

根据文献［14］可知，为弥补现有方程未体现混凝土弹塑性损伤影响的缺陷，混规附录C.2.5引入残余应变表达式，即在单轴受压条件下，卸载之后的残余应变为：

式中： ε _z 为混凝土卸载至零应力点的残余应变； ε _un 和 σ _un 分别为卸载时的应变和应力； ε _ca 为附加应变。

当加载到（ ε _un ， σ _un ）并开始卸载时，卸载段的方程见下式，混凝土在重复荷载作用下的应力-应变曲线见图7：

式中 E _r 为混凝土卸载／再加载的变形模量。

混规中并未明确给出考虑塑性应变的混凝土弹塑性本构表达式。因此为了得到混凝土弹塑性损伤本构，可根据混凝土受力特点和损伤本构定义，引入弹塑性受压损伤变量 d _ep ，混凝土单轴受压弹塑性本构关系曲线如图８所示，其弹塑性损伤本构表达式如下：

式中（1- d _ep ） E _c 为混凝土卸载模量，即弹塑性受压损伤变量 d _ep 数值相当于卸载模量对比初始模量的减小比例。

参考文献［14］，一般认为塑性应变 ε _p 与残余应变相等，即：

对于单调加载过程，卸载点（ ε _un ， σ _un ）即认为是加载过程中的当前点（ ε，σ ），联立前述式（9）、（14）和上述式（18）、（19），即可得：

进而求解得混凝土弹塑性受压损伤变量为：

其中塑性应变为：

为避免损伤值出现递减，对 ε _ca 取值进行修正 ^［14］ ：

最终得到混凝土弹塑性损伤本构（式（18））及演化方程（式（21）、（22）），其中 d _ep 的演化方程用 d _e 表达，因此等效弹性受压损伤变量 d _e 的演化方程（式（10））即可表达弹塑性受压损伤变量 d _ep 随总应变 ε 的演化关系。

目前基于混凝土材料的弹塑性损伤变量计算方法较多，包括面积法 ^［15］ 、能量等效假定法 ^［１６］ 、基于试验的公式法 ^［１７］ 和Mander法 ^［１８］ 等，在不同高校、研究院和设计院中得到了广泛的应用。

面积法基于Najar损伤理论，定义为无损材料与损伤材料应变能密度之差和无损材料应变能密度的比值；能量等效假定法基于Sidiroff原理，认为应力作用在受损材料和无损材料产生的弹性余能在形式上是相同的；公式法通过设置塑性应变和非弹性应变的比例，计算得到损伤变量；Mander法基于广泛应用的Mander混凝土模型提出，计算中需结合残余应变的表达式，本文４.１节中介绍的基于混规的损伤本构方程与此理论一致，以下简称规范修正法。

图９所示为不同方法计算的混凝土应变?损伤变量曲线。由图可见，除混规中的损伤演化参数外，其他损伤变量的计算结果较为一致，该损伤演化参数如前所述，本质为等效弹性损伤变量，在弹塑性分析中需加以区分。鉴于规范修正法符合损伤力学基本概念，且为便于统一执行和使用，本文推荐采用４.１节介绍的规范修正法计算非约束混凝土的弹塑性受压损伤变量 d _ep 。

在确定了损伤变量的计算方法后，将其演化方程与本构方程、平衡方程和几何方程，以及初始条件和边界条件联立，即可采用有限元方法求解得到结构的应力应变场和损伤场 ^［10］ 。从图10所示的考虑损伤发展的有限元分析流程可见，损伤变量是每个时间步的计算过程中对刚度矩阵修正的主要参数，直接参与了应力-应变场的计算过程，可见损伤变量，尤其是混凝土弹塑性受压损伤变量与弹塑性分析结果中的刚度退化和变形结果密切相关，用于表征构件损坏等级可体现其本质意义 ^［１９］ 。

评价标准的建立

参考文献［20］，可将混凝土受压变形与破坏过程总结为如图11所示的六个阶段：１）初始阶段（ OA 段，其中 A 点对应应力0.4 f _c,r 处， f _c,r 为峰值应力），试件保持近似弹性变形；２）应变发展至峰值应变（ B 点，对应峰值应变 ε _c,r 处），试件内部出现微裂缝并逐步发展；３）应力-应变曲线进入下降段（ BC 段，其中C点对应应变1~1.3倍 ε _c,r 处），试件表面出现可见裂缝；４）试件表面形成宏观斜裂缝；５）裂缝逐渐贯通全截面（ CD 段，其中 D 点对应应变2~3倍 ε _c,r 处）；６）裂缝继续发展加宽，成为一破损带，直至试件完全破坏。

以上述六个阶段的试验结果为基础，综合参考高规、抗倒塌标准等文献，同时考虑数据使用习惯，可将混凝土损伤分为无损坏、轻微损坏、轻度损坏、中度损坏、比较严重损坏和严重损坏6个损坏等级，并建立混规中C30~C80不同强度等级混凝土材料的应力-应变曲线和损伤-应变曲线与不同损坏等级的对应关系，见图12。由图可见，当以损伤变量作为评价指标时，不同等级混凝土的数值分布，特别在进入中度损坏后，可保持较好的一致性。

综合以上结果，提出了图13和表5的评价指标建议，即以混凝土弹塑性受压损伤变量和相应压应变作为指标的混凝土材料评价标准。如损伤变量0.3即代表卸载模量较初始弹性模量减小30%，属于轻度损坏，对应受压应变在1.0~1.5倍峰值应变区间，此时混凝土表面出现可见裂缝。

▲ 图12  不同强度等级混凝土的损坏等级对应关系

表5  混凝土受压应变与损坏等级对应关系

表6  不同方法的混凝土损伤变量对比

表7  混凝土构件损坏等级与应变的对应关系

剪跨比、轴压比及端部配箍率对于混凝土构件的破坏形态有重要的影响。剪跨比较大，且纵筋与箍筋搭配较为合适时，构件破坏形态表现为弯曲破坏，构件延性较好。但对于剪跨比较小的构件，如混凝土短柱，箍筋配置过多则易发生剪切斜压破坏，过少则易发生剪切斜拉破坏，其延性均较差，即受剪行为满足“力控制”原则，弹塑性分析中应对构件的剪力进行监测，其数值不应大于构件的抗剪承载力。

上述评价标准建立在混规中非约束混凝土本构模型的基础上，当采用其他混凝土本构模型，包括因计算需要进行不同简化和假设的模型，以及各类约束混凝土本构模型（包括箍筋约束和钢管约束等）时，应基于选用的本构按上述方法建立对应的评价标准。

在需充分考虑构件延性储备，计入箍筋约束影响时，如进行抗倒塌分析 ^［25］ ，通常需要采用箍筋约束混凝土本构。箍筋约束混凝土本构与非约束混凝土相比，两者的力学性能存在较大差别，尤其在峰值点后的延性表现差异明显。如在文献［26］的示例中，对于非约束混凝土，定义峰值应变为0.002，极限应变为0.003（对应下降段50%应力处）；而对于箍筋约束混凝土，定义峰值应变为0.008，极限压应变为0.015（对应下降段80%应力处）。

目前已有多位学者针对箍筋约束混凝土提供了多个本构模型，包括常用的Mander模型，过镇海模型 ^［27］ ，广东省规 ^［5］ 采用的Kent模型和SAUSAGE软件采用的钱稼茹模型 ^［28］ ，图14为针对某一工况（配箍率１％，C40混凝土） 计算得到的不同箍筋约束混凝土本构模型的骨架曲线，由图可见各模型骨架曲线存在较大的差异。因此在实际应用中需根据实际项目特点，选用合适的本构模型，并结合试验数据或相关文献等依据来确定评价标准，即如同美规４１-１７中指出的：“约束混凝土的应变限值应有试验数据作为依据”。在数值仿真分析中针对所采用材料本构标定评价指标的过程，可以理解为类似于在结构试验前对材料力学性能进行测定。

而当采用损伤变量进行构件损伤评价时，其力学意义仍为混凝土受损后的力学性能劣化程度，数值上等于卸载模量较初始模量的下降比例，因此理论上仍可应用前文表5中基于损伤变量的评价标准，损伤变量的数值可根据选用本构模型对应的加卸载方式计算得到。

（１）在基于性能化的抗震设计中，结构性能水准评价是其重要工作，除了结构整体性评价指标，应建立对构件损坏等级的评价体系，且评价指标应与目前弹塑性分析方法相适应。