第二帖 找形技术的产生及其发展

第三帖 力密度法（Force Density Method）

第四帖 动力松弛法 ( Dynamic Relaxation Method )

动力松弛法是一种求解非线性问题的数值方法，最早将这种方法用于索网结构的是 Day 和 Bunce，而 Barnes 从七十年代以来的系列研究工作，成功地将这一方法发展应用于索网及膜结构的找形。

动力松弛法从空间和时间两方面将结构体系离散化。空间上的离散化是将结构体系离散为单元和结点，并假定其质量集中于结点上。如果在结点上施加激振力，结点将产生振动，由于阻尼的存在，振动将逐步减弱，最终达到静力平衡。时间上的离散化，正是针对结点的振动过程而言的。具体点说，先将初始状态的结点速度和位移设置为零，在激振力作用下，结点开始振动，跟踪体系的动能，当体系的动能达到极值时，将结点速度设置为零；跟踪过程从这个几何重新开始，直到不平衡力为极小，达到新的平衡。

动力松弛法不需要形成结构的总体刚度矩阵，在找形过程中，可修改结构的拓扑和边界条件，计算可以继续并得到新的平衡状态，该方法用于求解给定边界条件下的平衡曲面。

对动力松弛法有研究兴趣的朋友，不妨读一读 Barnes 有关于这一话题的系列文章， Motro, R. 和 Belkacem, S. 已将这一方法发展用于张拉整体结构的找形。

第五帖　有限元找形法

　　Haug 和 Powell 在1971年提出了一种基于 Newton-Raphson 非线性迭代的索网结构找形方法。从一个勾画出的初始几何开始，通过改变索的预应力或者索段的原始长度并经过迭代，可得到相应的形状。 Argyris 等人则在1974年提出了一种从平面状态开始的找形方法，通过逐步改变控制点的坐标并经平衡迭代，求得相应形状。

　　有限元法找形现在已成为较普遍的索膜结构找形方法，尽管有不同的叫法，但其基本算法不外乎上述两种，即从初始几何开始迭代和从平面状态开始迭代。显然，从初始几何开始迭代找形要比从平面状态开始来得有效，且所选用的初始几何越是接近平衡状态，计算收敛越快，但初始几何的选择并非容易之事。两种算法中均需要给定初始预应力的分布及数值。在用有限元法找形时，通常采用小杨氏模量或者干脆略去刚度矩阵中的线性部分，外荷载在此阶段也忽略。

　　在有限元迭代过程中，单元的应力将发生改变。求得的形状除了要满足平衡外，还希望应力分布均匀，大小合适，以保证结构具有足够的刚度。因此，找形过程中还有个曲面病态判别和修改的问题，或者叫形态优化。遗传算法（Genetic Algorithm）在这方面具有一定的优势。

　与有限元法相对应，一种被称之为无网格法或无单元法（Meshless Method or Element Free Method）的方法在大变形计算方面具有明显优势，能否将这种方法用于索膜结构的找形呢？有兴趣的朋友不妨就此做些探索。

第六帖　有限元找形法中的小弹性模量问题

　　　　　　　——兼与 gussds 等朋友讨论 ( ref. 关于膜结构理论方面的几个小问题 )

　　在有限元找形法的两个算法即从初始几何开始迭代和从平面状态开始迭代中，都可以用小杨氏模量或干脆略去刚度矩阵中的弹性部分，亦即零模量，而实际膜材的弹性模量并非很小且随材料的不同而不同。那么，用小模量找形得到的结果是否就是我们所需要的结果呢？

　　要回答这个问题，首先得明确：我们所需要的结果是什么？如果说仅仅是为了找出满足边界条件的最小曲面或平衡曲面，用小弹性模量代入迭代，可较快得到结果。但由此而得到的曲面并非结构张拉成型后的实际曲面，亦即以此找形结果的预应力分布及数值，对实际膜材进行张拉，所得到的实际几何将与找形所得的几何有差异；或者说，如果用实际的膜材张拉一个与找形结果一样的曲面，膜面内的实际张力将会不同于找形所得到的预应力结果。

　　具体差异有多大？这不仅仅取决于实际选用的膜材的性能，更取决于结构的曲面形状及其尺寸。实际上，目前在膜结构安装时，无论是曲面几何还是膜面预应力都缺乏严密的监控措施。在外观上靠目测，预应力靠用手拍拍凭感觉决定的施工水平下，找形的这点差异又算得了什么呢？

　　如何解决这个问题？笔者个人倾向于以小弹性模量找形的结果作为初始几何，用实际膜材的材料参数代入，再次迭代，以求得实际结构的曲面几何及预应力分布值。

第七帖 关于材料的非线性与各向异性

在膜结构的分析设计中，是否要考虑材料的非线性及各向异性性能？

　 首先膜材是非线性复合材料。原因有：纤维(纱线)间的约束随经纬向应力比不同而变化；纤维本身在荷载下的性能就是非线性的；涂层的性能是非线性的，并受时间的影响；由于编织，经纬向纤维在初始状态是松弛的，而涂层对纤维受拉变直又有约束作用。

　 由于所采用的张拉预应力及设计工作应力远小于膜材的抗拉强度（通常预应力不超过5%的抗拉强度，工作应力不超过20%的抗拉强度），在设计应力范围内，认为膜材是处于弹性阶段，亦即不考虑材料的非线性。

膜材是由基材加表面涂层复合而成，而基材是由经﹑纬向纱线编织而成，因而呈现很强的正交异性性能,经纬向变形能力相差达5倍左右（法拉利预应力膜材已有改进）。而正交异性材料在承受非弹性主轴方向的应力时，呈现各向异性材料的性能，即拉应力除产生受拉方向及与受拉方向垂直的另一方向的变形外，还产生剪切变形。同时，剪应力除产生剪切变形外，也会导致拉伸变形。因此，材料的各向异性问题，或者说膜材的经纬方向与主应力方向的夹角是精确分析膜结构的形状和受荷分析时必须考虑的。同样，在决定裁剪应变补偿率时，也需计及这一因素。遗憾的是，目前大多数软件并不具备这一功能。

膜结构的找形﹑分析﹑裁剪是一个整体过程，基于全过程一体化设计思路的设计软件，在找形时即已考虑裁剪线的布置及膜材的经纬方向，并在计算模型中考虑了材料的经﹑纬方向（弹性主轴）与单元主应力之间的夹角，从而计及材料的各向异性。有关这一模型的详细内容，可参阅东南大学学报（1999年）的相关文章

第八帖 常见找形软件简介


有关找形的软件可分为三种类型。第一类是从相应设计软件的找形部分分离而来，象德国的 CADISI 是从 EASY 分离而来，意大利的 TensoCAD 是从 Forten32 分离而来，新加坡的 WinFabric/Lite 是从 WinFabric 分离而来。这些软件可供建筑师用于找形概念设计，价格从几百美元到几千美元不等。第二类软件包含找形及裁剪部分，即不仅能找出形状，还能确定裁剪线，并绘出膜材的下料图，但荷载态的分析要借助其它非线性软件进行，象英国的 Patterner 及 Surface 等，这类软件的价格几千美元。第三类软件包括找形，荷载态分析，及裁剪等全部内容，可生成直接供电脑控制的裁剪机器下料的数据，象德国的 EASY，英国的 inTENS，意大利的 Forten32，新加坡的 WinFabric 等等，价格近万到几万甚至十几万美元不等，有些还是非卖品。 美国 Birdair 的总工 Martin Brown 先生有一套不错的程序，三年前见他本人演示过，但不转让。澳大利亚新南威尔士大学的 Peter Kneen 博士的 FABDES 也未见其公开销售。

常见软件的主要特征如下：

1. EASY，德国，力密度法找形 (EasyForm), 几何非线性分析（EasySan）, 测地线裁剪( EasyCut）;
2. Forten32, 意大利，力密度法找形，几何非线性分析，测地线裁剪;
3. WinFabric, 新加坡，几何法,力密度法及动力松弛法找形，几何非线性分析，有限元（等参单元） 法裁剪;
4. inTENS，英国，动力松弛法找形，几何非线性分析，测地线裁剪;
5. FABDES，澳大利亚，基于初始几何的有限元找形，几何非线性分析（FABLISA），有三 种方法确定裁剪线（FABCUT）；
6. patterner, 英国，动力松弛法找形，测地线裁剪，无荷载分析模块；
7. Surface, 英国，动力松弛法找形，测地线裁剪，无荷载分析模块；
8. CADISI 同 EASY 找形部分；
9. TensoCAD 同 Forten32 找形部分；
10. WinFabric/Lite 同 WinFabric 找形部分。

一些问题：
1.在应用力密度时，……是否在理论上两者的力学性能完全相同呢？(包括动力性能）

个人认为，等代应包括材料与力学两方面。从理论上讲，两者的静力性能是相同的；至于说动力性能，由于索网的质量集中于索段内，而膜质量分布在整个膜面内，等代过程中有个质量的归集与分散的问题，因而不能说动力性能也完全相同。

2.……既然找形过程采用小杨氏模量假定（通常在10的-5次方量级），那么就可以近似认为单元应力是不变的，从而形成等张力曲面。另外，有关“曲面病态判别和修改”的文献，能发一贴吗？

如果说仅仅是为了得到一个等张力曲面，是可以近似认为单元应力是不变的，甚至有人提出了在迭代过程中，用人为地赋予单元常应力的策略加以控制，以求得等张力的平衡曲面。但由此求得的曲面，其 “形状” 未必符合建筑师的构思。另一方面，如放弃对单元应力的控制，而只追求形状，单元最终的应力分布又未必合理。我个人认为，找形时还应考虑结构建成后的受荷情况。

有关“曲面病态判别和修改”，我手头也没有什么文献，稍后试着写一帖，还请指正。

3.……既然小弹性模量计算的结果是平衡曲面，那么在没有外荷载的情况下，即使代入实际材料参数，计算结果也应该是不变的。而且这种方法我也曾试验过，没发现有什么不同。

可否再算一次：以小弹性模量找形的结果为初始几何，以实际参数代入，并给结构一个激励以便开始迭代，即：人为改变某些结点的坐标并控制单元应力不变，或者人为改变单元应力并控制各结点坐标不变，迭代至平衡后，看看外形（结点坐标）或单元应力是否还是没有什么不同。

第十帖 关于找形技术的一个小结

找形技术发展至今已有约三十年的历史，在此过程中，各国的研究者提出了多种不同的方法，绝非几个帖子所能概括的。除了前面提及的人物外, 以半谷裕彦为代表的日本研究者在索膜结构的找形方面也做出了杰出的工作。

实际上，无论是张力结构的找形也好，还是传统结构的设计也好，不外乎要满足“功能, 美学, 结构”三大要求。对找形而言，功能和美学的要求可具体化为形状符合建筑外观要求，而结构要求则可细分为三方面，一是强度方面——应力均匀，避免出现应力集中；二是刚度方面——避免出现较大的变形, 避免在雨或雪的作用下出现pool; 三是稳定方面,这里又包含静力稳定——避免在雨或雪的作用下出现失稳，及动力稳定——避免出现气弹失稳。 由于张力结构是形状和预应力决定刚度，一旦形状确定之后，荷载态的分析在某种程度上只是一个校核检验的过程，即校核在各种荷载组合下膜面的应力是否超过设计应力，是否有褶皱出现，变形是否在许可范围内等等。如不满足，还要通过修改边界条件及预应力的方法来修正形状。因而找形在张力结构的设计中才显得如此重要。

想进一步了解找形技术又没有时间去详细研读分散文献资料的朋友，不妨去读一读钱若军教授的“张力结构形状判定述评” (1990)，而有关张拉整体结构找形方面，建议读一读 A.G.Tibert 和 S.Pellegrino 合作的 Review of Form-Finding Method for Tensegrity Structures ( 31 pages, PDF, 2001 ) 一文。

第十一帖 荷载态分析的目的及其方法

通过找形，得到了结构的曲面几何及其相应的预应力分布，接下来的工作就是荷载态的分析了。

荷载态分析的目的，是检查在各种荷载组合下，结构的刚度是否足够，膜面的应力和变形是否在许可的范围内，亦即是否能保证结构的稳定及防止褶皱的出现，是否会出现过大的变形导致应力松弛或因应力过大导致膜材破坏，是否在风雪荷载下因变形过大而影响结构的适用功能，是否会因风激振动而导致结构破坏，等等。

尽管索膜结构的找形有不同的理论方法，但荷载态的分析，大都采用非线性有限元法，即将结构离散为单元和结点，单元与单元通过结点相连，外荷载作用在结点上，通过建立结点的平衡方程，求解问题。由于索膜结构是大变形问题，在推导有限元方程时，需考虑位移高阶项对应变的影响，亦即考虑几何非线性。当然，膜材本身也是非线性的，正如前面帖子中所述，在工程应用上，材料的非线性问题一般不予考虑。

想了解非线性有限元法基本理论的朋友，请参阅相关书籍。 Finite element linear and nonlinear, static and dynamic analysis of structural elements: a bibliography (1992-1995), 94 pages PDF